아무리 좋은 분석이라도 "얼마를 넣을지"를 정하지 못하면 결과가 들쭉날쭉합니다. 켈리 공식은 예측 확률과 배당이라는 두 숫자만 넣으면 전체 자금 중 몇 %를 투입하는 게 수학적으로 가장 효율적인지 알려주는 고전적인 배분 공식입니다.
직접 데이터를 다뤄보며 — 처음에는 자신 있는 경기에 무조건 많이 넣는 게 이득이라고 생각했습니다. 그런데 시뮬레이션으로 같은 예측을 수백 번 반복해 보니, 한 번에 몰아넣는 방식은 몇 번의 빗나감만으로 자금이 반토막 났습니다. 반대로 켈리 공식대로 비율을 조절했더니 곡선이 훨씬 부드럽게 우상향했습니다. "많이"가 아니라 "적절히"가 핵심이라는 걸 그때 숫자로 체감했습니다.
켈리 공식의 기본형
켈리 공식은 생각보다 단순합니다. 소수 배당을 쓰는 경우 아래와 같습니다.
f = (b × p − q) ÷ b
f: 전체 자금 중 투입할 비율b: 배당 − 1 (순이익 배수)p: 내가 예측한 성공 확률q: 실패 확률 (1 − p)
예시로 계산해 보기
배당 2.00인 경기를 내가 55% 확률로 성공한다고 판단했다고 합시다. 그러면 b = 1.0, p = 0.55, q = 0.45 입니다.
f = (1.0 × 0.55 − 0.45) ÷ 1.0 = 0.10
즉, 전체 자금의 10%가 켈리 공식이 제안하는 비율입니다.
확률과 배당에 따라 비율이 어떻게 변할까
| 배당 | 내 예측 확률 | 켈리 비율 |
|---|---|---|
| 2.00 | 50% | 0% (투입 안 함) |
| 2.00 | 55% | 10% |
| 2.00 | 60% | 20% |
| 3.00 | 40% | 10% |
| 1.50 | 70% | 10% |
표에서 확인할 수 있는 중요한 사실이 있습니다. 예측 확률이 배당이 말하는 확률과 같으면(50% × 2.00) 켈리 비율은 0%입니다. 켈리 공식은 내 예측이 배당보다 유리할 때만 자금을 투입하라고 말합니다.
절반 켈리(하프 켈리)를 쓰는 이유
실전에서는 공식이 제안하는 값의 절반만 쓰는 경우가 많습니다. 이유는 두 가지입니다.
- 내 예측 확률이 정확하지 않기 때문입니다. 켈리 공식은 확률이 정확할 때만 최적입니다. 55%라고 생각했는데 실제로 52%였다면 풀 켈리는 과투입이 됩니다.
- 변동성이 절반으로 줄기 때문입니다. 절반 켈리는 기대 성장의 약 75%를 유지하면서 등락 폭은 크게 낮춰, 심리적으로 버티기 훨씬 수월합니다.
주의할 점
켈리 공식의 핵심 입력값은 "내가 예측한 확률"입니다. 이 숫자가 틀리면 공식도 틀립니다. 그래서 켈리 공식보다 더 중요한 것은 확률 자체를 정직하게 추정하는 일입니다. 과거 유사 경기 통계로 확률을 보수적으로 잡는 습관이 공식 그 자체보다 먼저입니다.
요약
- 켈리 공식
f = (b × p − q) ÷ b는 자금 투입 비율을 알려줍니다. - 예측 확률이 배당이 말하는 확률보다 높을 때만 비율이 0보다 커집니다.
- 실전에서는 오차를 감안해 절반 켈리가 안전합니다.
- 공식보다 확률 추정의 정확도가 먼저입니다.